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泰勒公式有什么用途?

2019-08-06/    新澳门银座是手机app下载

编者按:

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  Taylor展开在物理学应用!物理学上的一切原理 定理 公式 都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式,并且能在数学上精确求解。为了处理一般的情况,物理学首先关注平衡状态,可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果,会给平衡态加上一个微扰,使物体振动。在这种情况下,势场往往是复杂的,因此振动的具体形式很难求解。这时,Taylor展开就开始发挥威力了!理论力学中的小振动理论告诉我们,在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式,零次项可取为0,一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0,从二次项开始不为零。如果精确到二级近似,则势能的形式与简谐运动完全相同,因此很容易求解。这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。反思一下这么处理的原因:首先,x^2形式的势能对应于简谐运动,能精确求解;其次,Taylor级数有较好的近似,x^2之后的项在一定条件下可以忽略。这保证了解的精确性。

  除了Taylor级数,经常用到的还有Fourier级数和Legendre多项式。原因也和上面提到的类似。有很多问题的数学模型是比较复杂的,这些复杂的问题往往很难甚至不可能求解,或是虽然能够求解,但是我们往往需要的是一个不那么精确但是效率很高的解法。而泰勒公式的强大之处就在于把一个复杂的函数近似成了一系列幂函数的简单线性叠加,于是就可以很方便地进行比较、估算规模、求导、积分、解微分方程等等操作。

  比较典型的例子的话……牛顿近似求根法(或者叫牛顿迭代法)可以看作泰勒公式的一种应用,并且很容易理解。所有非线性关系都可以用泰勒展开,丢掉高阶保留线性项作为近似。计算机的计算过程用的就是泰勒级数展开式。泰勒公式给出了f(x)的另一种形式,而从某种意义上说逻辑就是用等号右边的形式代替左边的形式从而推理下去的。

  数学上有一个习惯,就是把未知问题转化成一个已解决过的问题,然后就算解决了。泰勒级数形式的函数的行为就是一个计算机上的已解决得很好的问题。一旦把一个函数展开成泰勒级数的形式,它就成了一个已经解决过的问题,剩下的交给计算机就行了。理工科有一门课程叫做数值分析,这门课简直就是泰勒公式的应用。数值分析就是讲得各种数学式的求解,在计算机中,要求某一个问题的精确解是不可能的(因为计算机本质上只会逻辑运算),对于一个问题在不影响最后结果的情况下近似解是很可取的,泰勒公式就为这些计算提供了这样的方法,用简单式子逼近复杂式子,在误差范围内求出结果。

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